证明: 级数∑(-1)^n / [√n+(-1)^n] 是发散.(提示:将(-1)^n / [√n+(-1)^n] 分母有理化)
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那就按提示来。
通项an=(-1)^n / [√n+(-1)^n] 分子分母同乘以√n-(-1)^n
=(-1)^n*(√n-(-1)^n)/(n+1)
=(-1)^n*√n/(n+1)-1/(n+1)
=(-1)^n/(√n+1/√n) -1/(n+1)。
注意到第一项构成的级数恰好是Lebniz级数，
1/(√n+1/√n)是单调递减趋于0的，因此级数收敛；
而第二项构成的级数1/(n+1)是发散的，
两者的差构成的级数就是发散的。
通项an=(-1)^n / [√n+(-1)^n] 分子分母同乘以√n-(-1)^n
=(-1)^n*(√n-(-1)^n)/(n+1)
=(-1)^n*√n/(n+1)-1/(n+1)
=(-1)^n/(√n+1/√n) -1/(n+1)。
注意到第一项构成的级数恰好是Lebniz级数，
1/(√n+1/√n)是单调递减趋于0的，因此级数收敛；
而第二项构成的级数1/(n+1)是发散的，
两者的差构成的级数就是发散的。
更多追问追答
追问
第一项级数收敛 第二项级数发散。“两者的差构成的级数就是发散的” 这个什么定理？
追答
这个你可以自己证明了，最好当做一个定理来用。
级数(an+bn)满足级数(an)收敛，级数(bn)发散，则级数(an+bn)发散。
反证法：若级数(an+bn)收敛，则级数(bn)
=级数(an+bn-an)
=级数(an+bn)-级数(an)收敛，
矛盾。故结论成立。
经常用的结论：两个收敛级数的和仍收敛，一个收敛一个发散的级数的和必发散，
两个都发散的级数的和不确定敛散性。
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