Question

高数数列极限问题

在收敛数列的离线唯一性定理证明的时候运用反证法假设有两个极限a和b（且a＜b）为什么用两个绝对值方程解xn从而得到矛盾得时候默认xn在a和b之间？ 我是考虑如果xn在ab同侧必有一个不会是极限，反之在两点之间。但是还是觉得这种理解欠妥，请大神们指点，本人自学。
是极限的唯一性定理

Answer 1

不好意思，我不知道你看的是哪个证明，不过这个很好理解。极限的意思用通俗的话说就是xn的充分后面的项与极限值充分接近。假设若有两个不等极限a和b（且a＜b），取ε=(b-a)/2>0
那么根据这个给定的ε，可以找到一个固定的N，使得|aN-a|与|aN-b|都＜ε
然后一个三角不等式就矛盾了。这在几何上其实就是说，如果a不等于b,那么存在包含a的邻域Ua,
包含b的邻域Ub, 使得Ua,Ub不相交。但由极限的性质，数列的充分后面的项必会都落在这两个邻域中，这就矛盾了

Answer 2

你好，我不知道你的方法在ab同侧什么意思的。但我可以给你说一般的方法的思想，请你见谅。
若a<b,则由实数稠密性有一个a，b间的点，一般取(a+b)/2.
按照数列极限的定义，当n足够大时，x_n会处在a的某个小邻域内，就是说x_n<(a+b)/2;
同理对于极限b来考虑，x_n>(a+b)/2，就矛盾了哦。
当然这只是给你的一个思路，你可以尝试一下用epsilon-n 语言来严格证明，这里就不给出了。

Answer 3

如果书上证法是如你所说，那么证明有漏洞
你说的很有道理
例如an->a
但是xn=a+[(-1)^n]/n
那么数列会在a的上下浮动
没有可能会在一侧
b是极限也是同理
所以书上证明不对

正确解法是用定义
xn->a,由极限定义,对于任意ε>0,存在N1>0
使得当n>N1时，有|xn-a|<ε/2
xn->b,由极限定义,对于任意ε>0,存在N2>0
使得当n>N1时，有|xn-b|<ε/2
而由三角不等式
|a-b|=|(xn-a)-(xn-b)|<=|xn-a|+|xn-b|
取N=max(N1,N2)
当n>N时有
|a-b|<ε/2+ε/2=ε
所以|a-b|<ε对任意ε都成立
令ε趋向于0
有|a-b|=0
a=b
所以极限唯一