Question

已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）（　　） A．在区间（-1，0）上是减函数 B．在区间

已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）（　　）A．在区间（-1，0）上是减函数B．在区间（0，1）上是减函数C．在区间（-2，0）上是增函数D．在区间（0，2）上是增函数

Answer 1

解：
f(x)=-x^2+2x+8,
g(x)=f(2-x^2)
容易得到f(x)在(-∞，1)为增函数，在[1，+∞）为减函数.
令t=2-x²
当x∈（－2，0），t∈（-2，2）f(t)不单调，C错误；
当x∈（0，2），t∈（-2，2）f(t)也不单调，D错误；
当x∈（0，1），t∈（1，2）x增大t减少，而在t∈（1，2）f(t)为减函数，所以t减少则f(x)增加，即增加，g(x)增加，所以g(x)是增函数，B错误。
当x∈（-1，0），t∈（1，2）f(t)随t增大减少，又t随x增大而增大，所以g(x)随x增大而减少； A正确。
所以选A

追问

怎么判断单调不单调呢 你是怎么判断出来的

追答

根据二次函数f(x)=-x^2+2x+8图象性质

Answer 2

先求出g(x)=f(2-x^2)=8+2(2-x^2)-(2-x^2)^2=8+2x^2-x^4
再求导g'(x)=(8+2x^2-x^4)'=4x(1-x^2)
令g'(x)=0，即4x(1-x^2)=0，则x=-1、0 、1
显然区间(-∞，-1)上g'(x)>0，则g(x)为增函数
区间(-1，0)上g'(x)<0，则g(x)为减函数
区间(0，1)上g'(x)>0，则g(x)为增函数
区间(1，+∞)上g'(x)<0，则g(x)为减函数
因此正确选项为A

Answer 3

设u=2-x^2 则g(x)=f(u) f(u)在 x<1上是增函数 在x>1上是减函数 ；而u=2-x^2 在u<0上单调递增 在u>0上单调递减 ； 综上所述 ，利用复合函数同增异减的原则理应选B答案 希望能帮到你 。 C答案说法上没什么错误 但是 增区间不止（-2，0） 估不是最佳答案。

Answer 4

由已知求得g(x)=-x^4+2x^2+8,求导得g(x)'=-4x^3+4x=4x(1-x^2),当x在区间（-1，0）时，g(x)'<0，故是减函数，A正确。B是增函数，C、D均为一部分是增函数一部分是减函数。