在三角形ABC中,AB=AC,角A=36度,∠ABC的平分线BD与AC交于点D,求证:BC是AB金静分割点
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∠A=36°
所以∠ABC=∠ACB=72°
∠ABC的平分线
所以∠ABC=36°
所以AD=BD
所以∠BDC=180-72-36=72°
BD=BC
所以三角形BDC相似于三角形ABC
设AD=BD=BC=a DC=X
AB=a+x
因为三角形BDC相似于三角形ABC
BC/DC=AB/BD
a/x=(a+x)/a
x(a+x)=a²
x²+ax-a²=0
解得
X=(√5-1)a/2
所以D为AC的黄金分割点
因为BC=AD
AC=AB
所以BC是AB金静分割点
所以∠ABC=∠ACB=72°
∠ABC的平分线
所以∠ABC=36°
所以AD=BD
所以∠BDC=180-72-36=72°
BD=BC
所以三角形BDC相似于三角形ABC
设AD=BD=BC=a DC=X
AB=a+x
因为三角形BDC相似于三角形ABC
BC/DC=AB/BD
a/x=(a+x)/a
x(a+x)=a²
x²+ax-a²=0
解得
X=(√5-1)a/2
所以D为AC的黄金分割点
因为BC=AD
AC=AB
所以BC是AB金静分割点
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原题应该是:在三角形ABC中,AB=AC,角A=36度,∠ABC的平分线BD与AC交于点D,求证:D是AC的黄金分割点。
如果是这样的话,证明过程如下:
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形
∠ABC=∠C=(180°-36°)/2=72°
∵BD是,∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC=72°/2=36°
∠BDC=180°-72°-36°=72°
∴△ABD是等腰三角形 AD=BD
△BCD是等腰三角形 BD=BC
△ABC∽△BCD
∴AC:BC=BD:DC
∵AD=BD BD=BC
∴AC:AD=AD:DC
∴D是AC的黄金分割点
如果是这样的话,证明过程如下:
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形
∠ABC=∠C=(180°-36°)/2=72°
∵BD是,∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC=72°/2=36°
∠BDC=180°-72°-36°=72°
∴△ABD是等腰三角形 AD=BD
△BCD是等腰三角形 BD=BC
△ABC∽△BCD
∴AC:BC=BD:DC
∵AD=BD BD=BC
∴AC:AD=AD:DC
∴D是AC的黄金分割点
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AB=AC,角A=36度
所以角B=角C=(180-36)=72度(等腰三角形底角相等)
BD是角B的角平分线
所角ABD=角CBD=72/=36度
因此三角形ABC与三角形BDC相似(AAA)
所以
CD:BC=BC:AC(相似三角形对应边成比例)
CD=BC*BC/AC
又CD=AC-AD
所以
AC-AD=BC*BC/AC
角A=所角ABD=36度
所以BD=AD(等腰三角形)
角BDC=180-角CBD-角C=72度
所以角BDC=角C
所以BD=BC
所以
AC-AD=AD*AD/AC
整理可得
AD*AD+AC*AD=AC*AC
设AD=a AC=b
则有
a^2+ab=b^2
(a+b/2)^2=5b^2 / 4
a+b/2 = √5b/2
a=(√5-1)b/2
a/b=(√5-1)/2
因此,D是AC的黄金分割点
所以角B=角C=(180-36)=72度(等腰三角形底角相等)
BD是角B的角平分线
所角ABD=角CBD=72/=36度
因此三角形ABC与三角形BDC相似(AAA)
所以
CD:BC=BC:AC(相似三角形对应边成比例)
CD=BC*BC/AC
又CD=AC-AD
所以
AC-AD=BC*BC/AC
角A=所角ABD=36度
所以BD=AD(等腰三角形)
角BDC=180-角CBD-角C=72度
所以角BDC=角C
所以BD=BC
所以
AC-AD=AD*AD/AC
整理可得
AD*AD+AC*AD=AC*AC
设AD=a AC=b
则有
a^2+ab=b^2
(a+b/2)^2=5b^2 / 4
a+b/2 = √5b/2
a=(√5-1)b/2
a/b=(√5-1)/2
因此,D是AC的黄金分割点
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在AB边上画一点E,BE=BC。则由相似三角形可得,BE/AB = AE/EB。有这个就可以说明是黄金分割点啦。
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