Question

如图所示，在圆O 上有一点C（C不与A,B重合），在直径AB上有一个动点P（P不与A,B重合）

如图所示，在圆O 上有一点C（C不与A,B重合），在直径AB上有一个动点P（P不与A,B重合），判断PA,PC,PB的大小关系，并说明理由

Answer 1

设：圆O的半径为r。

令：C点离B点近，BC弧＜r π/2。P点离A点近，OP＜r。

解：AP＝r－OP

      BP＝r＋OP

     BP＝AP＋2OP

 

     ∠COB＝BC弧/r，∠CAB＝BC弧/（2r）

     AC＝2rCos（∠CAB）

    CP＝√（AC＾2＋AP＾2－2AC＊AP＊Cos（∠CAB））

 

答：当C点一定时，P点在AB上移动，由A点移到圆心前，

      BP＝AP＋2OP；

     CP＝√（AC＾2＋AP＾2－2AC＊AP＊Cos（∠CAB））；

     它们于BC弧长和OP的长度存在上述关系。

     同理，P点再由圆心向B点移动，相关过程此处略。

供参考。

 

Answer 2

　　分析：在PA上截取PE=PC，连接CE，由圆周角定理可求出∠APC=60°，△PCE是等边三角形，PC=PE，由PC=PE，∠PCE=∠ACB=60°及圆周角定理可求出△ACE≌△PBC，即PB=AE，进而可求出结论．　　解答：解：在PA上截取PE=PC，连接CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PC=CE，∠PCE=∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠ACE，
∵BC=AC，∠PBC=∠CAE，
∴△ACE≌△PBC，
∴PB=AE，
∴PA=PB+PC．　　点评：此题比较复杂，解答此题的关键是在PA上截取PE=PC，构造出等边三角形，再利用全等三角形的判定定理及性质解答即可．