Question

已知函数f（x）的定义域为（0，正无穷），且满足条件：

①f(xy)=f(x)+f(y)，②f（2）=1，③当x＞1时，f（x）＞0
求满足f(x)+f(2x)≤2的x的取值范围。

Answer 1

由①得f(xy)-f(x)=f(y),则有f(y)-f(x)=f(y/x),当y>x>0时，y/x>1,则由③有f(y)-f(x)=f(y/x)>0;即在定义域上，f(x)是单调增函数，那将不等式f(x)+f(2x)≤2变化
f(x)+f(2x)=f(x)+f(2)+f(x)=f(x^2)+1<=2,即f(x^2)<=1=f(2),由于f(x)是单调增函数，有x^2<=2
故x的取值范围是（0，根号2】

Answer 2

f(x)=f(x)+f(1)=f(x)+f(y/y)=f(x)+f(y)+f(1/y)
f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
f(x/y)=f(x)-f(y)

令x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)
x1/x2>1
f(x1/x2)>0
f(x1)-f(x2)>0
f(x)的定义域为(0,正无穷)为增函数

f(2)+f(2)=1+1
f(4)=2
f(x)+f(2x)=f(2x^2)≤f(4)
2x^2≤4
x^2≤2
0<x≤√2/2