Question

如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，求证：BE=EF=FC

Answer 1

我们需要画三条辅助线，抱歉我这里上传不了图，你按我说的在纸上自己画一下，然后看步骤。

1）O点垂直BC画一条辅助线，垂足为P
2）连接OE，OF，这两条辅助线
3）有条定理：任意一条线段的中垂线，它上面的任意一点到线段的两个端点的距离是相等的。
以上是准备工作。
4）根据第3）点，那么我们可以得知，BE=OE
5）在三角形BEO中，根据第4）点，很容易就可以证明∠OBE=∠BOE=30°（因为BO是角平分线）
6）根据第1）点，我们的OP是垂直于BC的，那么△OBP实际上是一个直角三角形，且一个角为30°，那么很容易就可以知道∠BOP=60°
7）由5）和6），可以得知∠EOP=30°，且同理∠FOP=30°，两角一加，∠EOF=60°
8）在三角形EOP中，由7）可以知道∠OEP=60°，同理∠OFP=60°。
9）在三角形OEF中，不就得到三个角都是60°了嘛。所以三角形OEF是个等边三角形。
这样就简单了。
10）BE=OE（第3点），OE=EF，所以BE=EF，同理CF=EF。
结论：BE=EF=FC

Answer 2

证明：
连接OE、OF
∵E在OB的垂直平分线上
∴OE=BE
∴∠EOB=∠EBO
∵∠EBO=30°
∴∠OEF=∠EOB+∠EBO=60°
同理∠OFE=60°
∴△OEF是等边三角形
∴OE=OF=EF
∴BE=FE=CF