Question

已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图

），易证BM+DN=MN．
如何证明BM+DN=MN？？？？？

Answer 1

连接AC交MN与E，然后证明ADN全等AEN，ABM全等AEM，所以BM+DN=EN+EM=MN

Answer 2

（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN=MN，理由为：

如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，

∵在△ABE和△ADN中

AD=AB，∠D=∠ABE，DN=BE，

∴△ABE≌△ADN（SAS）．

∴AE=AN；∠EAB=∠NAD，

∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，

∴∠DAN+∠BAM=45°，

∴∠EAM=∠BAM+∠EAB=45°=∠MAN，

∵在△AEM和△ANM中

AE=AN，∠EAM=∠NAM，AM=AM，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME=MN，

∴MN=ME=BE+BM=DN+BM，

即DN+BM=MN

（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN-BM=MN．

证明：如图3，在DN上截取DE=MB，连接AE，

∵由（1）知：AD=AB，∠D=∠ABM=90°，BM=DE，

∴△ABM≌△ADE（SAS）． 

∴AM=AE；∠MAB=∠EAD，

∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，

∴∠DAE+∠BAN=45°，

∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，

∵在△AMN和△AEN中

AM=AE，∠MAN=∠EAN，AN=AN，

∴△AMN≌△AEN（SAS），

∴MN=EN，

∵DN-DE=EN，

∴DN-BM=MN．