Question

求08年广州一模文科数学试题

大家帮帮忙

Answer 1

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A C A C B D C
10．由 ，得 ，
即 ，所以点 是 边上的第二个三等分
点，如图所示．故 ．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第13题第一个空2分，第二个空3分．
11．3 12． 13．4；
14． 15．72

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）
解：设 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括： ， ， ， ， ， ， ， ，……， ， ，共36个基本事件．
（1）用 表示事件“ ”，
则 的结果有 ， ， ，共3个基本事件．
∴ ．
答：事件“ ”的概率为 ．
（2）用 表示事件“ ”，
则 的结果有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8个基本事件．
∴ ．
答：事件“ ”的概率为 ．

17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力）
解：（1）∵函数 的图象经过点 和 ，
∴ 即
解得
（2）由（1）得

．
∴当 ，即 ，
即 时， 取得最大值2．

18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间几何体中线、面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力）
（1）证明：在正方形 中，∵ ，
∴三棱柱 的底面三角形 的边 ．
∵ ， ，∴ ，则 ．
∵四边形 为正方形， ，
∴ ，而 ，
∴ 平面 ．
（2）解：∵ 平面 ，
∴ 为四棱锥 的高．
∵四边形 为直角梯形，且 ， ，
∴梯形 的面积为 ，
∴四棱锥 的体积 ，
由（1）知 ， ，且 ，
∴ 平面 ．
∴三棱柱 为直棱柱，
∴三棱柱 的体积为 ．
故平面 将三棱柱 分成上、下两部分的体积之比为 ．

19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）
解：（1）∵ ，
∴ ， ．
（2）方法1：假设存在实数 ，使得数列 为等差数列，
设 ，由 为等差数列，则有 ．
∴ ．
∴ ．
解得， ．
事实上，
．
综上可知，存在实数 ，使得数列 为首项是 、公差是1的等差数列．
方法2：假设存在实数 ，使得 为等差数列，
设 ，由 为等差数列，则有 （ ）．
∴ ．
∴
．
综上可知，存在实数 ，使得数列 为首项是 、公差是1的等差数列．

20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）
解：（1）依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ．
由方程 消去 得 ． ①
∵直线 与抛物线 相交于 ， 两点，
∴ ，解得 或 ．
故直线 斜率的取值范围为 ．
（2）解法1：∵ ， 是方程①的两实根，
∴ ∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴切线 的方程为 ．
令 ，得点 的坐标为 ．
∴ ．
同理，可得 ．
∵ （ ）．
故 ．
解法2：可以断定 ．
∵ ， 是方程①的两实根，
∴ ∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴切线 的方程为 ．
令 ，得点 的坐标为 ．
同理可得点 的坐标为 ．
∵ ．
∴点 是线段 的中点．
故 ．

21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）
（1）解：∵ ，令 ，得 ．
∴当 时， ，当 时， ．
∴函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
∴当 时， 有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数 均有 ，即 ．
令 （ ），则 ，
∴ ．
即 ．
∵
∴ ．
∵ ，
∴ ．