Question

高一数学函数题，求这类题目的解法

1.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
（1）求f(1) （2）若f(x)+f(2-x)＜2，求x值
2.f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时，f(x)＜0，又f(3)=-2
（1）判断f(x)奇偶性并证明 （2）判断f(x)单调性并证明 （3）求f(x)在[-12,12]上的最大值和最小值
3.f(x)=x²+ax+3，当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a取值

求各位高人帮忙啊，我就这类题目解不来，完全没有头绪，急求帮忙！！

Answer 1

1
（1），有f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=2f（1）
∴ f（1）=0
（2），f（x）是定义在（0，+∞）上的函数
∴ x＞0，2-x＞0
∴ x∈（0，2）
根据题意，f（x）+f（2-x）=f【x（2-x）】
另f（1/3）=1，则f（1/9）=f（1/3）+f（1/3）=2
原不等式则简化为f【x（2-x）】＜f（1/9）
∵ f（x）在x∈（0，+∞）上为减函数
∴ x（2-x）＞1/9
化简得9x²-18x+1＜0
解不等式，得x∈（1-2/3*√2，1+2/3*√2）
考虑x∈（0，2）的定义
得不等式的解集为x∈（1-2/3*√2，1+2/3*√2）

2
（1），f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=y=0，则f（0）=2f（0）
∴ f（0）=0
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）
∵ f（0）=0
∴ f（-x）=-f（x）
∴ 函数f（x）是奇函数。
（2），设x2＞x1
f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）
由x2＞x1，得x2-x1＞0
由题设当x＞0时，f（x）＜0
∴ f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＜0
∴ 函数f（x）是单调递减函数。
（3），∵ f（x）在实数R上是单调递减函数
∴ 当x∈【-12，12】时，f（x）max=f（-12），f（x）min=f（12）
先计算f（12）
f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2【f（3）+f（3）】=4f（3）=-8
f（-12）=-f（12）=8
∴ 当x∈【-12，12】时，f（x）max=8，f（x）min=-8

3 ，
f（x）=x²+ax+3=（x+a/2）²+3-a²/4 （x∈【-2，2】）
根据对称轴x=-a/2位置分3种情况讨论：
1° -a/2＜-2，即a＞4
f（x）min=f（-2）=7-2a
为使f（x）≥a恒成立，则7-2a≥a，得a≤7/3
考虑a＞4，知该情况的a不存在

2° -2≤-a/2≤2，即a∈【-4，4】
f（x）min=f（-a/2）=3-a²/4
为使f（x）≥a恒成立，则3-a²/4≥a
化简，得a²+4a-12≤0
解不等式，得a∈【-6，2】
考虑a∈【-4，4】
得a∈【-4，2】

3° -a/2＞2，即a＜-4
f（x）min=f（2）=7+2a
为使f（x）≥a恒成立，则7+2a≥a，得a≥-7
考虑a＜-4，得a∈【-7，-4）

取以上三种情况的并集，得a的取值范围为a∈【-7，2】

Answer 2

这类题目的解法:赋值法,把数变为函数,利用函数增减性解
1,令x=y=1得f(1)=f(1)+f(y1),f(1)=0 ,
f(1/3)=1,2f(1/3)=2,
f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2f(1/3)=2,
f(x)+f(2-x)＜2,
f(x)+f(2-x)＜f(1/9),
f[x(2-x)]＜f(1/9),函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数
x＞0,2-x＞0且x(2-x)＞1/9解得
0 ＜ x＜1+2√2/3
2,(1)令x=y=0得f(0)=0
y= -x,由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)= -f(x),f(x)奇函数
(2)设在R上且x1＜x2 则 x2-x1＞0,有f(x2-x1)＜0
f(x2)- f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)- f(x1)=f(x2-x1)＜0
f(x2)- f(x1)＜0,
f(x2) ＜f(x1),函数f(x)是减函数
(3)f(x)是奇函数又是减函数
f(x)在[-12,12]上,最大值f(-12)= -f(12)= - 4f(3)= - 4*(-2)=8
最小值f(12)= 4f(3)=4*(-2)= - 8
3,（2）当x∈[-2，2]时，设g（x）=x2+ax+3-a≥0，
分如下三种情况讨论
①当g（x）的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有△=a2-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②g（x）的图象与x轴有交点，
但在x∈[-2，+∞）时，g（x）≥0，即
△≥0, x= -a/2≤-2, g(-2)≥0 得a∈Φ
③g（x）的图象与x轴有交点，
但在x∈（-∞，2]时，g（x）≥0，即
△≥0, x= -a/2≥-2, g(-2)≥0 得 -7≤a≤-6
综合①②③得a∈[-7，2]．

Answer 3

1(1)令x=y=1,f(1)=0
(2)f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
f(x)+f(2-x)=f(2x-x^2)<f(1/9)
则2x-x^2>1/9 解得1-2倍的根2/3<x<1+2倍的根2/3