Question

已知函数f（x）=（alnx）/（x+1)+b/x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0

（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx/（x-1）+k/x，求k的取值范围

Answer 1

(1)切线方程变形为 y=(-1/2)(x-1)+1
可见斜率k=-1/2, f(1)=1
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (1)
f(1)=b=1
代入(1)得 a=1
(2)解：f(1)=b,
由题，x+2y-3=0过点(1,b)
代入解得b=1
相切，有f'(a)=a/2-b=a/2-1=-1/2
解得a=1
故f(x)=lnx/(x+1) +1/x
x>0且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x
整理得
k<1-2xlnx/(x-1)(x+1)在x>0且x≠1时恒成立
设h(x)=xlnx/(x-1)(x+1),原问题等价于求h(x))在x>0且x≠1上最大值
h'(x)=[-x²lnx-lnx+x²-1]/(x²-1)²
令g(x)=-x²lnx-lnx+x²-1
g'(x)=2x-2xlnx-x-1/x
g"(x)=1/x²-2lnx-1
g'"(x)=-2/x³-2/x<0
故g"在定义域内↓，g"(1)=1-1=0
0<x<1,g">0.g'↑；1<x，g"<0,g'↓
g'(x)<g'(1)=0,故g(x)在定义域内↓,g(1)=1-1=0
0<x<1,g>0.h'>0,h↑；1<x，g<0,h<0,h↓
h(x)<h(1)=lim(x→1)xlnx/(x-1)(x+1)=1/2
从而1-h(x)>1/2
于是k的取值范围是（-∞，1/2）

Answer 2

（Ⅰ）这种题第一问就很好做，有什么切线的，第一眼先求导！f ‘（x）=【（alnx）/（x+1)+b/x】’（抱歉，你自己求下，太久忘公式了），求出的这个是曲线斜率！！！
把X=1带入f ‘（x）=【（alnx）/（x+1)+b/x】’ 得式子①
切线方程为x+2y-3=0移项，知切线方程斜率为-1/2
f ‘（x）=-1/2得式子②
把X=1带入x+2y-3=0知y=1，则点(1,f(1))实为点（1,1）
把（1,1）带入f（x）=（alnx）/（x+1)+b/x 又得式子③
联立式子①③，可解得a和b
（Ⅱ）相信后面这问在第一问基础上很好解啦，你自己解决啦