Question

数学归纳法如何证明:1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 1

证明：当n=1时，原式成立
假设当n=k时也成立，即1^2+2^2+3^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
则当n=k+1时1^2+2^2+3^2+...+k^2+（k+1）^2=k(k+1)(2k+1)/6+（k+1）^2
右边通分[k(k+1)(2k+1)+6（k+1）^2]/6=（k+1）（2k^2+k+6k+6）/6
=（k+1）（2k^2+7k+6）/6
=（k+1）（k+2）（2k+3）/6（分解因式）
=（k+1）[（k+1）+1][（2（k+1）+1]/6
所以当n=k+1时成立，所以原式成立

Answer 2

证明：1）首先，n=1的时候显然成立；
2）设n=k的时候，式子成立
3）则n=k+1时，1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)+3(k+1)]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
综上所述：公式成立。