Question

过抛物线y^2=4x的焦点作直线L交抛物线于A,B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则lABl等于

我算到这里y=k（x-1），然后按照我们老师所说，变为x=y+k/kk,再代入抛物线（因为x是一次项，代X能简化计算），但代完后我就不记得怎么做下去了，求帮助啊

Answer 1

变为x=ky+k，再代入消去x，得到一个方程，因为已知由中点可知x1+x2=6（假设两点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)），由y=k(x-1)，得y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，所以y1+y2=k(x1+x2-2)=4k，再根据韦达定理，求出k，之后用弦长公式，得|AB|=√(1+1/k²) [(y1+y2)-4y1y2]（根号下面是1+1/k²），代入数值即可求解。

不过老师的方法未必是最简单的，此题不应该消去x，应该消去y，尽管消去y要用完全平方式化简，但是题目给出的条件是得到x1+x2=6，如果消去y可直接由韦达定理得到关系式，不用求y1+y2的值，最后也可以用弦长公式，得|AB|=√(1+k²) [(x1+x2)-4x1x2]（根号下面是1+1/k²）。

此题求出k值，除了上面的方法，此题还可以有其他解法，请看下面方法：
由于A、B在抛物线上，把坐标代入抛物线，得y1²=4x1，y2²=4x2，两式相减，得
y1²-y2²=4x1-4x2，变形可得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)，所以(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)，
由x1+x2=6，以及y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，,得y1+y2=k(x1+x2-2)=4k，注意到(y1-y2)/(x1-x2)=k
所以有k=4/(4k)，一样也可以求出k，遇到弦中点问题，可以用这种方法，此法称为点差法。这种方法计算也非常方便，学习要有自己的思维和方法，不要以为老师所说的方法一定是最好的，相反，你的老师教你们的解法，我认为是最麻烦的。

追问

y1+y2=k(x1+x2-2)=4k，可以把韦达定理的过程写一写吗？

追答

我想你不是不会，只是你懒得写，学理科不管在任何时候，都要自己动笔思考，你如果还是继续依赖答案学习数学，那么我可以肯定地告诉你，只要过了一会，你马上就不会再做类似的题，例如本题稍微改一下试试自己能不能做：
过抛物线y^2=4x的焦点作直线L交抛物线于A,B两点，是否存在实数斜率k，使∠AOB=90°，如果存在请求出k值，如果不存在请说明理由。

当你做一个题目的时候，你是否真的只是为了做出这道题，难道你不会从中学会方法以及能力吗，基础差，能力方面欠缺都无所谓，关键还是看你的态度。
或许我说了这些，你不爱听，不过，我还是不会告诉你答案，我教人家的时候，从来不把详细答案以及计算结果告诉别人，我只引导思维。你想提高数学，还是多独立思考。