Question

已知a>b>c,证明：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a))>0

Answer 1

上面的式子是轮换对称的，很有规律和美感的。
我们可以看到
（a-b)+(b-c)=a-c;
我们可以由上式逆推得来。
1/(a-b)+1/(b-c)>1/(a-c)
左式通分化简有
(a-c)/[(a-b)(b-c)]>1/(a-c);
因为
(a-c)>0;
所以有
(a-b)(b-c)<(a-c)^2==[(a-b)+(b-c)]^2;
这里如果令
令x=a-b>0,y=b-c>0,
就有
x*y<(x+y)^2;
显然，这个式子，我们很熟悉。
甚至可以有：
x^2+x*y+y^2>0;
这里x>0,y>0：
这就是我们初步的思路。
通过这个分析，我们才会有
cd1184051
的简洁答案。

令x=a-b>0,y=b-c>0,
那么原式变为
1/x+1/y-1/(x+y)=(x2+y2+xy)/(xy(x+y)),
此式必然大于0，
所以原不等式成立

Answer 2

令x=a-b>0,y=b-c>0,那么原式变为1/x+1/y-1/(x+y)=(x2+y2+xy)/(xy(x+y)),此式必然大于0，所以原不等式成立