Question

一道超难的初三数学题，不是大神最好别做！（我晓得答案，别糊弄我）

如图，二次函数的图像与x轴相交于点A（-3,0）、B（-1,0），与y轴相交于点C（0,3），点P是改图象上的动点，一次函数y=kx-4k（k≠0）的图像经过点P交x轴于点Q。（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标（-4，m）时，求证：角OPC=角AQC；（3）点M，N分别在线段AQ，CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，连接AN。①当三角形AMN的面积最大时，求t值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由！

Answer 1

本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大，需要注意的是（3）①问中，需要注意在自变量取值区间上求最大值，而不能机械地套用公式

（1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证；
（3）①求出△AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制，二次函数并不是在对称轴处取得最大值；
②直线PQ上的点到∠AQC两边的距离相等，则直线PQ能平分∠AQC，所以直线PQ能垂直平分线段MN．
解答：（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1），
∵抛物线经过点C（0，3），
∴3=a×3×1，解得a=1．
∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3．

（2）证明：在抛物线解析式y=x2+4x+3中，当x=-4时，y=3，∴P（-4，3）．
∵P（-4，3），C（0，3），
∴PC=4，PC∥x轴．
∵一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，
∴Q（4，0），OQ=4．
∴PC=OQ，又∵PC∥x轴，
∴四边形POQC是平行四边形，
∴∠OPC=∠AQC．

（3）解：①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．
如答图1所示，过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥OC，

∴△QND∽△QCO，
∴
ND
OC
＝
NQ
CQ
，即
ND
3
＝
5−t
5
，解得：ND=3-
3
5
t．
设S=S△AMN，则：
S=
1
2
AM•ND=
1
2
•3t•（3-
3
5
t）=-
9
10
（t-
5
2
）2+
45
8
．
又∵AQ=7，∴点M到达终点的时间为t=
7
3
，
∴S=-
9
10
（t-
5
2
）2+
45
8
（0＜t≤
7
3
）．
∵-
9
10
＜0，
7
3
＜
5
2
，且x＜
5
2
时，y随x的增大而增大，
∴当t=
7
3
时，△AMN的面积最大．
②假设直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．
由QM=QN，得：7-3t=5-t，解得t=1．
设P（x，x2+4x+3），
若直线PQ⊥MN，则：过P作直线PE⊥x轴，垂足为E，
则△PEQ∽△MDN，
∴
PE
EQ
＝
MD
DN
，
∴
x2+4x+3
4−x
＝

4
5

12
5

∴x=
−13±
109

6
，
∴P（
−13+
109

6
，
34+
109

18
）或（
−13−
109

6
，
34−
109

18
）
∴直线PQ能垂直平分线段MN．

追问

大哥 你哪儿复制的呀！你这能看吗？

追答

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/2de1b1f6-1769-4cad-a54f-1957de78398a

追问

好吧！没料到 青优网 竟然有！ 艹

Answer 2

问这题的意义何在？

追问

考验你们的水平！2.帮我解决

追答

哦哦。做起来好麻烦。