Question

认为自己高中数学强的来看看神题已知函数f(x)=lnx-a(x-1),

(1) 讨论函数单调性
(2)当x>=1时f(x)<=lnx/(x+1)恒成立 求a的取值范围

Answer 1

解：定义域 x>0，，f'(x)=1/x-a
1、①当a≤0时，f'(x)>0恒成立， f(x)在（0，+∞）上是增函数
②当a>0时，令 f'(x)>0，则 0<x<1/a，即 f(x)在（0,1/a)上是增函数，在（1/a,+∞）上是减函数
2、一、在①情况下，f(x)在（0，+∞）上是增函数，
而f(x)<=lnx/(x+1)恒成立

可变形为a≥xlnx/(x^2-1),,但是x≥1,所以x>0，lnx>0,x^2-1>0,,所以xlnx/(x^2-1)>0,,即a>0,但是①情况下a≤0，，所以不符合条件。
二、在②情况下，f(x)在（0,1/a)上是增函数，在（1/a,+∞）上是减函数，，
可知f(x)有极大值f(1/a)，令g(x)=lnx/(x+1)（x≥1），则g'(x)>0，g(x)在x≥1上单调递增
1）当1/a≤1，即a≥1时，f(x)在x≥1上有最大值f(1)=0，又g(x)min=0，故f(x)<=lnx/(x+1)恒成立
2）当1/a>1,即0<a<1时，f(x)在x≥1上有最大值f(1/a)=a-lna-1,若f(x)<=lnx/(x+1)恒成立，
则只需g(1/a)≥f(1/a）,,即lna-a^2+1≥0。令h(a)=lna-a^2+1,(0<a<1),则h'(a)=1/a-2a
可求得h（a）在（0，1）上有
极大值h(√2/2)=ln(√2/2)-1/2=ln(√2/2)-ln(√e)=ln[√(1/2e)]<ln1=0
即h(a)在（0，1）上恒有h(a)<0 成立，
所以f(x)<=lnx/(x+1)在0<a<1，x≥1时不恒成立
综上所述，当x>=1时f(x)<=lnx/(x+1)恒成立 ，a的取值范围是 [1,+无穷）
好久没做高中的题了，步骤有省略的，在讨论时，你画个草图容易理解些、、、

Answer 2

1

追问

水货

追答

解：定义域 x>0
f'(x)=1/x-a
(1)a≤0，f'(x)>0恒成立，所以 f(x)在（0，+∞）上是增函数
(2) a>0 f'(x)>0
1/x>a
0<x<1/a
所以 f(x)在（0,1/a)上是增函数
在（1/a,+∞）上是减函数

追问

一般 你是个小怪 括号二呢