Question

已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x)。当-2≤x<0时,f(x)=2^x,求f(2013)

T=8 f(2013)=f(5)=?

Answer 1

∵f（2+x）=f(2-x)=f[4-(2-x)] （这里吧（2-x）看成整体）
∴f（x）=f（4-x） （换元）
∵y=f（x）为R上奇函数，∴f（x）=-f（x-4） （基函数的性质f（x）=-f（-x））
∴f(2013)=-f（2009）=f（2005）………… （这里按4个或者8个单位照推）
得：f（2013）=f（5）=-f（1）=f（-1）=2^-1=1/2
∴f（2013）=1/2
下面那，对，周期是T=8

你用2013除以8，余5，所以f（2013）=f（5）
f（5）就需要用回最开始的条件f(2+x)=f(2-x)或者f（x）=-f（x-4）
来推出f（5）=f（-1）
应该没问题了。（如果我没脑子短路的话）

Answer 2

解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(x),又f(2+x)=f(2-x),所以f(x+2)=-f(x-2），令x=x-4,则f(x-2)=-f(x-6)=-f(x+2),f(x-6)=f(x+2),再令x=x-2,则f(x-8)=f(x),令x=x+8,f(x)=f(x+8),T=8,2008=8*251+5,所以f(2013）=f（5）