Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，AB＝AC∠BAE＝∠EACAE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，∠EAF＝∠CBFAF＝BF∠AFE＝∠BFC＝90°，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．

Answer 2

（1）∵AB=AC，D是BC的中点；
（2）∵∠BAC=45°，
∵BF⊥AC，∠EAF＝∠CBFAF＝BF∠AFE＝∠BFC＝90°，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，
∴△ABF为等腰直角三角形，AB＝AC∠BAE＝∠EACAE＝AE，
∴AD⊥BC，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∵AB=AC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∴BE=CE，BF⊥AF，
∴AF=BF，点D是BC的中点，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中证明

Answer 3

证明:(1)∵AB=ACDBC点
∴∠BAE=∠EAC
△ABE△ACEAB=AC∠BAE=∠EACAE=AE
∴△ABE≌△ACE(SAS)
∴BE=CE;
(2)∵∠BAC=45°BF⊥AF
∴△ABF等腰直角三角形
∴AF=BF
∵AB=AC点DBC点
∴AD⊥BC
∴∠EAF+∠C=90°
∵BF⊥AC
∴∠CBF+∠C=90°
∴∠EAF=∠CBF
△AEF△BCF∠EAF=∠CBFAF=BF∠AFE=∠BFC=90°
∴△AEF≌△BCF(ASA).

Answer 4