Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA

（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC．

（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．

打的我好苦,选我吧!

Answer 2

等腰直角△ABC，∠CAD=∠CBD=15°,所以∠BAD=∠ABD=30°，所以AD=BD，∠ADB=120°
所以∠ADB=60°，再AC=BCCD共边证ADC全等BCD所以∠ADC=BCD=120°，所以正的∠CDE=60=∠ADB
DC=DM,∠CDE=60,CMD等边,∠DMC=60°，,∠CME=120°=∠CDB。CE=CA=CB证CDB全等CMB得ME=BD