Question

已知函数f(x)=-x^2+2ax+1,x∈【-1,2】上的最大值是4,求实数a

Answer 1

解：f(x)=-x^2+2ax+1=-(x-a)^2+a^2+1
它是开口向下x=a为对称轴的二次函数。结合它的图像性质解此题：
当a<-1时，f(x)在定义域内为减函数，所以f(x)max=f(-1)=-2a=4，解得a=-2，满足题意。
当a>2时，f(x)在定义域内为增函数，故f(x)max=f(2)=4a-3=4，解得a=1/4<2，不合题意，舍去。
当-1<=a<=2时，f(x)在[-1,a)为增函数，在[a,2]为减函数，所以f(x)max=f(a)=a^2+1=4，
解得a=±√3，经检验舍去负值，a=√3满足题意。
综上可得，满足题意的a的值为-2或√3。

此题应该综合结合二次函数图象的性质，另外要理解函数单调性的概念。

Answer 2

首先求导 f(x)'=-2x+2a=2(a-x)
a>=2 f'>0 函数递增 f(x)max=f(2)=2a-3 解得 a=3.5
a<=-1 f'<0 函数递减 f(x)max=f(-1)=-2a 解得 a=-2
-1<a<2 f'=0 处有最大值 解得x=a 代入原式求的 f(x)max=-a^2+2a^2+1=4 解得a^2=3 舍去负值
综上 a值有三个

追问

首先求导 f(x)'=-2x+2a=2(a-x)
↑这是怎么得到的= =

追答

这个是求导数 如果没学过只好采用分类讨论了 对称轴在区间的位置求的极值