Question

如图，圆O为△ABC的内切圆，且与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F

（1）若△ABC的周长为8厘米，面积为12平方厘米，求圆O的半径
（2）设△ABC的周长为L，面积为S，内切圆的半径为r，请写出S、L、r三者之间的关系式，并证明你的结论

图画得不好，多多见谅

Answer 1

 

AE=AD,BE=BF,CD=CF

AEO和ADO;BEO 和BFO;CDO和· CFO都是全等的

AE+BE+CD=8/2=4

SAEO+SBEO+SCDO=12/2=6

0.5(AE*r+BE*r+CD*r)=6

(AE+BE+CD)*r=12

r=3

 

以此类推

SABC＝0.5r（AB＋AC＋BC)

r=2S/L

Answer 2

第一个问题：
设⊙O的半径为r。
∵⊙O分别切AB、AC、BC于E、D、F，
∴OE⊥AB、OD⊥AC、OF⊥BC，且OE＝OD＝OF＝r。

∴S(△ABC)
＝S(△OAB)＋S(△OAC)＋S(△OBC)＝（1/2）AB×OE＋（1/2）AC×OD＋（1/2）BC×OF
＝（1/2）r（AB＋AC＋BC）＝（1/2）r×8，
∴4r＝S(△ABC)＝12，∴r＝3（cm）。

第二个问题：
∵S(△ABC)＝（1/2）r（AB＋AC＋BC），∴S＝（1/2）rL。　（证明过程见第一个问题）