Question

已知函数f（x）=ax+b/（1+x的平方）是定义在（-1,1）上的奇函数，且f（1/2）=2/5

问（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）小与0.

Answer 1

因为：f(1/2)=2/5
所以：a/2+b=1/2
因为：f(x)为奇函数
所以f(-x)=-f(x),即(-ax+b)/(1+x2)=-(ax+b)/(1+x2),
即(-ax+b)=-(ax+b).
即b=-b
所以b=0，a=1
（1）f(x)=x/(1+x2)
(2)设-1<x1<x2<1,则：f(x2)-f(x1)=x2/(1+x22)-x1/(1+x12)
=(x2+x2x12-x1-x1x22)/(1+x22)(1+x12)
=(x1x2-1)(x1-x2)/(1+x22)(1+x12)
因为：-1<x1<x2<1；所以x1x2-1<0,x1-x2<0,
(1+x22)(1+x12)>0
所以f(x2)>f(x1)
故f(x)在(-1,1)上是增函数

（3）f(t-1)+f(t)<0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
t-1<-t
t<1/2
又有-1<t-1<1,-1<t<1
即有0<t<1
综上所述，0<t<1/2

Answer 2

用f（x）= -f (-X)得a，再将f（1/2)=2/5带入刚得到的式子中得b，将a，b带入原式子得f（x)
设x1和x2是定义域上的两数且x1<x2证 f（x1 ）-f（x2）<0
将t-1和t看成x带入f（x）令不等式＜o求出答案