Question

矩阵A的n次方等于0，A的特征值是否为0？

Answer 1

特征值必定是全零。
证明：
A^n为零矩阵
则f(x)=x^n是矩阵A的一个化零多项式，A的特征值只能是化零多项式的根，所以特征值必为全零。

Answer 2

特征值是0。
设A的特征值为b，对应的特征向量为x，则
A^n x = b^n x，
因为 A^n = 0，所以 b^n x = 0 。 因为x≠0，所以 b^n=0 ， b=0。

Answer 3

设a是特征值，对应的特征向量为x，即ax=ax，左乘a得a^2x=aax=a^2x，继续递推下去有
a^kx=a^kx，即a^k是a^k（=0）的特征值，因此a^k=0，a=0