Question

如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB=CD．（1）试问OE=0F吗？

如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB=CD．（1）试问OE=0F吗？请说明理由．（2）若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

解：（1）OE=0F；
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEF=∠BFE=90°．
∵AE=CF，AE+EF=CF+EF．即AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∵

AB＝CD AF＝CE

，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BFO和△DEO中，
∵

∠BFO＝∠DEO ∠BOF＝∠DOE BF＝DE

，
∴△BFO≌△DOE（AAS），
∴OE=0F；

（2）结论依然成立．
理由：由AE=CF，得AF=CE，
结合已知得Rt△ABF≌Rt△CDE，
由BF=DE，从而△BFO≌△DEO，
∴FO=EO，
即结论依然成立；