Question

如图1，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1F2，左、右顶点分别为A1，A2，T（1，32）为椭

如图1，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1F2，左、右顶点分别为A1，A2，T（1，32）为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）给出命题：“已知P是椭圆E上异于A1，A2的一点，直线 A1P，A2P分别交直线l：x=t（t为常数）于不同两点M，N，点Q在直线l上．若直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P，则Q为线段MN的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明；（Ⅲ）试研究（Ⅱ）的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点S的直线m，并写出作图步骤．注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）∵T（1，

3

2

）为椭圆上一点，且TF₂垂直于x轴，
∴c=1，
在Rt△TF₁F₂，|TF₂|=

3

2

，|F₁F₂|=2，∴|TF₁|=

5

2

，
∴2a=|TF₁|+|TF₂|=4，
∴a=2，
∴b=

a2?c2

=

3

∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（Ⅱ）逆命题：“已知P是椭圆E上异于A₁，A₂的一点，直线 A₁P，A₂P分别交直线l：x=t（t为常数）于不同两点M，N，点Q在直线l上．若Q为线段MN的中点，则直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P”，为真命题．
证明如下：设P（x₀，y₀）（x₀≠±2），则

x02

4

+

y02

3

＝1，
l_A1P：y=

y0

x0+2

（x+2）；l_A2P：y=

y0

x0?2

（x-2），
∴M（t，

y0(t+2)

x0+2

），N（t，

y0(t?2)

x0?2

），
设MN的中点为Q（x₁，y₁），则x₁=t，y₁=

y0(x0t?4)

x02?4

，
∵x02?4＝

?4y02

3

，
∴y₁=

y0(x0t?4)

x02?4

=

?3(x0t?4)

4y0

，
∴Q（t，

?3(x0t?4)

4y0

），
∴k_PQ=

?3(x0t?4) 4y0 ?y0

t?x0

=

?3x0

4y0

，
∴PQ的方程为y=

?3x0

4y0

（x-x₀）+y₀，即y=

?3x0

4y0

x+

3

y0

代入椭圆方程，消去y可得

3

4y02

x²-

3x0

2y02

x+

3

y02

?1=0，
∴△=（

3x0

2y02

）2-4?

3

4y02

?（

3

y02

?1）=

9x02+12y02?36

4y04

=0，
∴直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P；
（Ⅲ）如图，①任作一条不过点S的直线n垂直于双曲线的实轴；②作直线A₁S，A₂S分别交直线n于I，J两点；③作线段IJ的中点V，连接SV，则直线SV即为所求的直线m．