Question

阅读下列材料：1×2=13（1×2×3-0×1×2），2×3=13（2×3×4-1×2×3），3×4=13（3×4×5-2×3×4），

阅读下列材料：1×2=13（1×2×3-0×1×2），2×3=13（2×3×4-1×2×3），3×4=13（3×4×5-2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=13×3×4×5=20．读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=______；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=______．

Answer 1

1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）；
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）；
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）；
…
10×11=

1

3

（10×11×12-9×10×11）；
…
n×（n+1）=

1

3

[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]．
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=

1

3

（1×2×3-0×1×2）+

1

3

（2×3×4-1×2×3）+

1

3

（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

（10×11×12-9×10×11）
=

1

3

（10×11×12）=440；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=

1

3

（1×2×3-0×1×2）+

1

3

（2×3×4-1×2×3）+

1

3

（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]=

1

3

[n×（n+1）×（n+2）]；

（3）1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）；
2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）；
3×4×5=

1

4

（3×4×5×6-2×3×4×5）；
…
7×8×9=

1

4

（7×8×9×10-6×7×8×9）；
∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）+

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）+

1

4

（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+

1

4

（7×8×9×10-6×7×8×9）；
=

1

4

（7×8×9×10）=1260．