Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C．（1）如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于D．证明：△A1CD是等边三角形；（2）如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1：S2=1：3；（3）如图3，设AC中点为E，A1B1中点为P，AC=a，连接EP，当θ=______°时，EP长度最大，最大值为______．

Answer 1

（1）证明：如图，∵AB∥CB₁，
∴∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，
∴∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，
∴△A₁CD是等边三角形；

（2）证明：由旋转的性质可知AC=CA₁，∠ACA₁=∠BCB₁，BC=CB₁，
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴S₁：S₂=AC²：BC²=1²：（

3

）²=1：3；

（3）解：如图，连接CP，当△ABC旋转到△A₁B₁C的位置时，
此时θ=∠ACA₁=120°，EP=EC+CP=

1

2

a+a=

3

2

a．
故答案为：120，

3

2

a．

Answer 2

1)因为AB∥CB1时，∠B1CB=∠B=30,所以A1CD=60°，而∠A1=60°，即证
2）因为旋转∠ACA1=θ，所以∠B1CB=θ，AC=A1C,BC=B1C，所以三角形ACA1相似三角形BCB1，所以S1/S2=（AC/BC）²，tan∠B=AC/BC=根号3/3，所以S1/S2=1/3
3）当θ=120°，时，EP最大=3a/2