Question

如图 矩形ABCD的顶点A B坐标分别为（-4,0）（2,0） BC为2根号3 设直线AC与直线x=4交于E

1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明次抛物线一定过点E。
（2）设（1）中抛物线与x轴另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一个动点，求△CMN面积的最大值。

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Answer 1

1.设y=m(x-4)^2 +k
带入C点坐标(2,2根号3)和O点坐标(0,0)，求解得
m=-(根号3)/6，k=(8根号3)/3

再计算E点坐标，记(4,0)为F，
AB=2+4=6，AF=4+4=8，BC=2根号3，由三角形相似，AB/AF=BC/EF
EF=(8根号3)/3，所以E（4，(8根号3)/3）
因此抛物线过E

2.根据1中抛物线容易求解得到抛物线的两个根分别是0和8因此N(8,0)
求面积最大值即为求抛物线上一点与线段CN距离最远，因此即为求一条与CN平行线与抛物线相切。
记CN的直线为y=kx+b，带入C点坐标(2,2根号3)和N点坐标(8,0)，求解得
k=-(根号3)/3，b=(8根号3)/3。
因此与CN平行的直线形如y=-(根号3)/3 x + z
所以与抛物线相切即满足-(根号3)/6(x-4)^2 +(8根号3)/3=-(根号3)/3 x + z的方程有唯一解。
即 x^2-10x+2根号3 z=0
由特征值为0，求解得到z=25根号3/6
同时求解得x=5，带入得到M(5,5根号3/2)

过M做MG垂直x轴于G(5,0)
四边形CNMB面积为梯形BCMG面积加三角型MNG面积
CB=2根号3，MG=5根号3/2，BG=GN=3
因此四边形面积为8根号3
同时四边形CNMB面积又等于三角型CNM面积加三角型CBN面积
三角型CBN面积为6根号3
因此所求三角型CNM面积为2根号3

Answer 2

第二步可以采用铅垂高×水平宽：在图上取一点符合的M，在求出CN的直线解析式：y=-（根号3）x/3+8（根号3）/3，在过点M作MH交CN于点H，∴MH=-（根号3）a²/6+5（根号3）a/3-8（根号3）/3 ， ∴S△CMN=6×1/2×{-（根号3）a²/6+5（根号3）a/3-8（根号3）/3 }=-（根号3）/2（a-5）²+9（根号3）/2 ∴面积为9（根号3）/2

Answer 3

2分之9倍根号3