Question

如图,已知梯形ABCD中,AD‖BC,AD=1,AB=DC=2。联结BD,点E在边DC上,且∠ABD=∠CBE。设BC=x（x＞1），CE=y。

如图,已知梯形ABCD中,AD‖BC,AD=1,AB=DC=2。联结BD,点E在边DC上,且∠ABD=∠CBE。设BC=x（x＞1），CE=y。（1）当x=3时，求∠C的正切值；
（2）求y关于x的函数关系，并写出定义域；
（3）联结AE，若△ABE与△DBC相似，求BC的长。

Answer 1

(1)x=3时,即BC=3,作DH垂直BC于H.

∵梯形为等腰梯形.

∴CH=(BC-AD)/2=1, DH=√(CD²-CH²)=√(4-1)=√3.

故:tanC=DH/CH=√3/1=√3.

(2)延长BE,交AD的延长线于M.

∵AD∥BC.

∴∠M=∠EBC;DM/BC=DE/CE,DM/x=(2-y)/y, DM=(2x-xy)/y.

∵∠ABD=∠EBC.

∴∠ABD=∠M;又∠BAD=∠MAB.

∴⊿BAD∽⊿MAB,AB/AM=AD/AB,2/[1+(2x-xy)/y]=1/2.

化简得: y=2x/(3+x)      定义域为(x>1)

(3)∵∠ABD=∠EBC.

∴∠ABE=∠DBC.(等式的性质)

梯形ABCD为等腰梯形,若连接AC,则∠BAC=∠CDB.

又∠BAE>∠BAC,则:∠BAE>∠CDB;

故:当∠BAE=∠BCD时,△ABE∽△CBD.

∴AB/CB=AE/CD,2/x=AE/2, AE=4/x.

延长AE,交BC的延长线于N,则:AD/CN=DE/EC,1/CN=(2-y)/y, CN=y/(2-y).

∵∠BAE=∠BCD=∠CBA.

∴AN=BN=x+y/(2-y),EN=AN-AE=x+y/(2-y)-4/x.

AE/EN=AD/CN,(4/x)/[x+y/(2-y)-4/x]=1/(y/2-y)------------------------①

又y=2x/(3+x)   ------------------------------------------------------------②

由①②,得:x=(1+√13)/2,即BC=(1+√13)/2. 

Answer 2

追问

全部啊

Answer 3

呵呵