Question

设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)>0,证明 f(x)在[a,b]上的导数 乘 1/f(x)在[a,b]上的导数 >=(b-a)的平方

Answer 1

你的题错了，不是导数，是积分吧？
给你一个二重积分的做法，如果没学过二重积分，请追问，我再给你一个定积分做法。

左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx
定积分可随便换积分变量
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy
=∫∫(D) f(x)/f(y) dxdy 其中：D为a≤x≤b，a≤y≤b
该积分区域为正方形区域，关于y=x对称，则满足轮换对称性，即：∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
=(1/2)∫∫(D) [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy
由平均值不等式
≥∫∫(D) 1 dxdy 被积函数为1，积分结果是区域面积
=(b-a)²
=右边

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

追问

对，是积分。没学过二重积分，麻烦你发一下定积分做法吧

追答

定积分证法技巧较高，要先构造一个函数
g(t)=t²∫[a→b] f(x) dx + 2t(b-a) + ∫[a→b] 1/f(x) dx
由于定积分的结果都是常数，所以g(t)其实是一个二次函数
注意到：(b-a)=∫[a→b] 1 dx
g(t)=t²∫[a→b] f(x) dx + 2t∫[a→b] 1 dx + ∫[a→b] 1/f(x) dx
=∫[a→b] [t²f(x) + 2t+ 1/f(x)] dx 能否看出来，被积函数是一个完全平方式
=∫[a→b] [t√f(x) + 1/√f(x)]² dx
≥0
由于二次函数大于等于0，可知其判别式Δ≤0
因此得：4(b-a)²-4∫[a→b] f(x) dx∫[a→b] 1/f(x) dx≤0
上式整理后就是要证的结论。