Question

如图，在△ABC中，AB=AC，（1）若P是BC边上的中点，连结AP，求证：BP?CP=AB2-AP2；（2）若P是BC边上任意

如图，在△ABC中，AB=AC，（1）若P是BC边上的中点，连结AP，求证：BP?CP=AB2-AP2；（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论？

Answer 1

（1）在RT△ABP中，AB²=AP²+BP²，AB²-AP²=BP²=BP?CP；

（2）如图所示：

过A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，
则AB²-AP²=BM²-MP²=（BM+MP）（BM-MP）=CP（CM-MP）=BP?CP；

（3）如图所示：

过A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²
AP²-AB²=MP²-BM²=（MP+BM）（MP-BM）=BP（MP-CM）=BP?CP，
∴AP²-AB²=BP?CP．