Question

已知函数 ， ，其中 (1)若 ，求 的极小值；(2)在(1)条件下证明 ；(3)是否存在实数 , 使 的最

已知函数 ， ，其中 (1)若 ，求 的极小值；(2)在(1)条件下证明 ；(3)是否存在实数 , 使 的最小值为3,如果存在，求出实数 的值，若不存在，说明理由.

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Answer 1

(Ⅰ)  f ( x )的极小值为 f (1)=1  (Ⅱ) 略 （Ⅲ） a=e 2

：(1)∵ f ( x )= ax -ln x ， f ′ ( x )="1-" = ，∴当0＜ x ＜1时， f ′ ( x )＜0，此时 f ( x )单调递减； 当1＜ x ＜ e 时， f ′ ( x )＞0，此时 f ( x )单调递增。3分∴ f ( x )的极小值为 f (1)=1．4分 (2)∵ f ( x )的极小值为1，即 f ( x )在（0， e ）上的最小值为1，∴ f ( x )＞0， f ( x ) min =1．……6分 令 h ( x ) = g ( x) + = + ， h′ ( x )= ， 当 时， h′ ( x )＞0， h ( x )在 上单调递增， ∴ h ( x ) h ( e )= +＜+=1，…9分∴在(1)的条件下， f ( x )＞ g ( x )+．…10分 (3)假设存在实数 a ，使 f ( x ) = ax -ln x ， x ∈[0, e ]有最小值3， f′ ( x )= a - = ， ①当0＜＜ e 时， f ( x )在(0,)上单调递减，在(, e ]上单调递增． f ( x ) min = f ()=1+ln a =3， a=e 2 ，满足条件．……13分 ②当≥ e 时， f ( x )在 上 单调递减， f ( x ) min = f ( e )= ae -1=3， a= (舍去)， 所以，此时 f ( x )无最小值．…15分 综上，存在实数 a=e 2 ，使得当 x ∈（0, e ]时 f ( x )有最小值为3．…16分