Question

已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE； （2）AB=AC+BD

已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE； （2）AB=AC+BD．

Answer 1

解答：证明：（1）∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠DBA=180°（1分）
又∵AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠EAB＝

1

2

∠CAB，∠EBA＝

1

2

∠DBA，
∴∠EAB+∠EBA＝

1

2

(∠CAB+∠DBA)＝90°，
∴AE⊥BE       （4分）

（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，
在△CAE和△FAE中

AC＝AF ∠CAE＝∠FAE AE＝AE

，
∴△CAE≌△FAE，
则∠CEA=∠FEA，（8分）
又∠CEA+∠BED=∠FEA+∠FEB=90°，
∴∠FEB=∠DEB，
∵BE平分∠DBA，
∴∠DBE=∠FBE，
在△DEB和△FEB中

∠DEB＝∠FEB EB＝EB ∠DBE＝∠FBE

，
∴△DEB≌△FEB（ASA），（10分）
∴BD=BF，又∵AF=AC，
∴AB=AF+FB=AC+BD．  （12分）

Answer 2

证明：
(1). ∵AC∥BD
∴∠CAB+∠DBA＝180°
∵AE平分∠CBA，BE平分∠DBA
∴∠BAE＝∠CAB/2, ∠ABE＝∠DBA/2
∴∠BAE+∠ABE＝（∠CAB+∠DBA）/2＝180°/2＝90°
∴∠AEB＝180°-（∠BAE+∠ABE）＝180°-90°＝90°
∴AE⊥BE
(2). 延长AE交BD延长线于点G
∵AC∥BD
∴∠CAE＝∠G，∠ACE＝∠GDE
∵AE平分∠CBA
∴∠CAE＝∠BAE
∴∠BAE＝∠G
∴AB＝BG
∵BE平分∠DBA
∴∠GBE＝∠ABE
∴△ABE≌△GBE （ASA）
∴AE＝GE
∴△ACE≌△GDE （AAS）
∴DG＝AC
∴BG＝DG+BD＝AC+BD
∴AB＝AC+BD
证毕