Question

如图,AB,BC,CD分别与圆O相切于点EFG,且AB||CD,OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MN

若OB=6，OC=8，求MN的长

Answer 1

因为AB||CD，且AB切圆O于E，DC切圆O于G，所以E、O、G三点共线，EG为圆O的直径，
所以角EFG=90°
因BC为圆O切线，所以BD垂直平分EF，同理可得DC垂直平分FG
所以DNFM为矩形，MN=DF，角D=90°，BC=根号（BD²+DC²）=10
连接DF，则DF⊥BC，角C为公共角，所以△CFD∽△CDB，DF*BC=BD*DC
DF=BD*DC/BC=6*8/10=4.8
MN=4.8

Answer 2

首先，EOG三点共线
M是EF中点，N是FG中点，
所以MN是三角形EGF的中位线
即MN=1/2*EG=r，
过B做BK垂直于CD，垂足为K
对BK^2+CK^2=BC^2列式，因为BE=√(OB^2-OE^2)=√(36-r^2), CG=√(OC^2-OG^2)=√(64-r^2)
所以(2r)^2+[√(64-r^2)-√(36-r^2)]^2=[√(64-r^2)+√(36-r^2)]^2
解得r=4.8