Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1 =1，点P（b n ，b n+1

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1 =1，点P（b n ，b n+1 ）在直线x-y+2=0上．（1）求a 1 和a 2 的值；（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ；（3）设c n =a n ?b n ，求数列{c n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）∵a n 是S n 与2的等差中项 ∴S n =2a n -2∴a 1 =S 1 =2a 1 -2，解得a 1 =2 a 1 +a 2 =S 2 =2a 2 -2，解得a 2 =4 （2）∵S n =2a n -2，S n-1 =2a n-1 -2， 又S n -S n-1 =a n ，n≥2 ∴a n =2a n -2a n-1 ， ∵a n ≠0， ∴ a n a n-1 =2（n≥2），即数列{a n }是等比数列，∵a 1 =2，∴a n =2 n ∵点P（b n ，b n+1 ）在直线x-y+2=0上，∴b n -b n+1 +2=0， ∴b n+1 -b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1 =1，∴b n =2n-1， （3）∵c n =（2n-1）2 n ∴T n =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a n b n =1×2+3×2 2 +5×2 3 ++（2n-1）2 n ， ∴2T n =1×2 2 +3×2 3 ++（2n-3）2 n +（2n-1）2 n+1 因此：-T n =1×2+（2×2 2 +2×2 3 ++2×2 n ）-（2n-1）2 n+1 ， 即：-T n =1×2+（2 3 +2 4 ++2 n+1 ）-（2n-1）2 n+1 ， ∴T n =（2n-3）2 n+1 +6