Question

如图所示，在光滑的水平面上有两个方向相反的匀强磁场垂直穿过，磁场的宽度均为L，磁感应强度大小均为B，

如图所示，在光滑的水平面上有两个方向相反的匀强磁场垂直穿过，磁场的宽度均为L，磁感应强度大小均为B，水平面上放有一正方形金属线框，其边长为a（a＜L），电阻为R． （1）若线框以速度v从磁场区左侧匀速向右穿过该磁场区域到达磁场区右侧的过程中，求外力所做的功．（2）若线框从磁场区左侧以水平向右的某个初速度进入磁场，刚好能从磁场区右侧全部出来，求线框在进入磁场和离开磁场的过程中产生的热量之比．

Answer 1

（1）线圈进入磁场的过程中，安培力做功   W 1 =F 1 a=（I 1 aB）a= ( Bav R aB)a = B 2 a 3 v R 线圈从左侧磁场进入右侧磁场的过程中， 安培力做功W 2 =F 2 a=（2I 2 aB）a=（2 2Bav R aB）a= 4 B 2 a 3 v R 线圈离开磁场的过程中，安培力做功   W 3 =F 3 a=（I 3 aB）a=（ Bav R aB ）a= B 2 a 3 v R 整个过程中外力做功等于安培力做的总功  W=W 1 +W 2 +W 3 = 6 B 2 a 3 v R （2）设线圈进入磁场前的初速度为v 0 ，在左侧磁场中运动的速度为v 1 ，线圈在右侧磁场中运动的速度为v 2 ，线圈的质量为m 线圈在进入磁场过程中，根据动量定理得： - . F 1 t 1 =-（ . I 1 aB ）t 1 =mv 1 -mv 0 又感应电荷量q 1 = . I 1 t 1 ． 即-q 1 aB=mv 1 -mv 0  ① 线圈从左侧磁场进入右侧磁场的过程中，同理可得： -2F 2 t 2 =-2（ . I 2 aB ）t 2 =mv 2 -mv 1 即-2q 2 aB=mv 2 -mv 1 ② 线圈离开磁场的过程中，同理可得： - . F 3 t 3 =-（ . I 3 aB ）t 3 =-mv 2 即-q 3 aB=0-mv 2 ③ 又感应电荷量q 1 = △ Φ 1 R ，q 2 = △ Φ 2 R ，q 3 = △ Φ 3 R 其中△Φ 1 =△Φ 2 =Ba 2 ，△Φ 3 =2Ba 2 ， 所以q 2 =2q 1 ，q 3 =q 1 由①②③式解得 v 1 = 5 6 v 0 ， v 2 = 1 6 v 0 所以 Q 1 Q 2 = 1 2 m v 20 - 1 2 m v 21 1 2 m v 22 -0 = v 20 - v 21 v 22 = 11 1 答： （1）外力所做的功为 6 B 2 a 3 v R ． （2）线框在进入磁场和离开磁场的过程中产生的热量之比为11：1．