Question

（2003?河南）如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点

（2003?河南）如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD=8．①求BC的长；②连接DC，求tan∠PCD的值；③以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式．

Answer 1

①连接AC，OD，相交于点F，
∵AB是⊙O的直径，DP与⊙O相切于点D，
∴∠ACB=90°，OD⊥PD，
∵DP⊥PB，
∴∠P=∠PCF=∠PDF=90°，
∴四边形PDFC是矩形，
∴CF=PD=8，
∴AF=CF=8，
即AC=16，
在Rt△ABC中，AB=20，
∴BC=

AB2?AC2

=12；

②∵OA=OD=

1

2

AB=10，AF=8，
∴在Rt△AOF中，OF=

OA2?AF2

=6，
∴DF=OD-OF=10-6=4，
∵四边形PDFC是矩形，
∴PC=DF=4，
∴tan∠PCD=

PD

PC

=

8

4

=2；

③过点D作DE⊥AB于点E，
∵OD∥PB，
∴∠DOE=∠ABC，
在Rt△ABC中，sin∠ABC=

AC

AB

=

4

5

，cos∠ABC=

BC

AB

=

3

5

，
∴sin∠DOE=

4

5

，cos∠DOE=

3

5

，
∴DE=OD?sin∠DOE=10×

4

5

=8，OE=OD?cos∠DOE=10×

3

5

=6，
∴AE=OA-OE=10-6=4，
∴点D的坐标为：（4，8），点B的坐标为：（20，0），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∴

4k+b＝8 20k+b＝0

，
解得：

k＝? 1 2 b＝10

，
∴直线BD的解析式为：y=-

1

2

x+10．