Question

如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动至M,C),

如图甲，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不运动至M，C），以AB为直径作⊙O，过点P的切线交AD于点F，切点为E．（1）求四边形CDFP的周长；（2）请连接OF，OP，求证：OF⊥OP；（3）延长DC，FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（如图乙）．是否存在点P使△EFO∽△EHG（其对应关系是E←→E，F←→H，O←→G）？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说
明理由．

Answer 1

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⑴∵ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴AD、BC是⊙O的切线，
∵PF是⊙O的切线，∴PB=PE，FE=FA，
∴四边形CDFP的周长：CD+DF+FE+PE+PC=CD+AD+BC=6。
⑵∵AD、BC、PF都是⊙O的切线，∴∠OFE=1/2∠AFE，∠OPE=1/2∠BPE，
∵AD∥BC，∴∠AFE+∠BPE=180°，
∴∠OFE+∠OPE=1/2(∠AFE+∠BPE)=90°，∴∠FOP=90°，∴OF⊥OP；
⑶当RT△EFO∽RT△EHG时，∠GHO=∠EFO，
在四边形EFDH中，∠D=∠HEF=90°，∴∠GHO=∠DFE，
∵∠DFE+∠AFE=180°，∴∠GHO+2∠EFO=180°，
∴3∠EFO=180°，∠EFO=60°，∴∠BPE=60°，
∠BPO=30°，OP=2OB=2，BP=√3。
即当BP=√3时，△EFO∽△EHG。