Question

已知实数x.y满足x2+y2＝4.则3x+4y的取值范围是

Answer 1

这题虽然是道小题，但有多种解法，可以体现不同的数学思想方法，希望对你有所帮助。
一、设 3x+4y=t ，则 y=(t-3x)/4 ，代入已知等式得 x^2+(t-3x)^2/16=4 ，
化简得 25x^2-6tx+t^2-64=0 ，
上式有解，因此判别式非负，即 36t^2-100(t^2-64)>=0 ，
解得 -10<=t<=10 ，即 -10<=3x+4y<=10 。
二、设 3x+4y=t ，即 3x+4y-t=0 ，它表示直线 ，而 x^2+y^2=4 表示圆，
由已知，直线与圆有公共点，因此圆心到直线的距离不超过半径，
即 |0+0-t|/√(9+16)<=2 ，
化简得 |t|<=10 ，解得 -10<=t<=10 ，即 -10<=3x+4y<=10 。
三、因为 x^2+y^2=4 ，所以 设 x=2cosa ，y=2sina ，其中 0<a<=2π ，
则 3x+4y=6cosa+8sina=10sin(a+b) ，其中 b 满足 cosb=4/5 ，sinb=3/5 ，
由正弦函数的有界性，可得 -10<=3x+4y<=10 。
四、由柯西不等式，|3x+4y|^2<=(3^2+4^2)*(x^2+y^2)=100 ，
所以 -10<=3x+4y<=10 。

Answer 2

令x=2cos a y=2sin a 0＜a＜360
3x+4y=6cos a +8sina=10sin a+一个角度 故最大值是10
最小值是-10

Answer 3

利用数形结合的方法做，令3x+4y=m
即3x+4y-m=0表示一条直线，(x,y)适合圆的方程，又在直线上，
所以只要直线和圆有公共点就行
圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式
|m|/5≤2
解得-10≤m≤10