Question

y=(1+1/x)^x x>0求单调性？

Answer 1

对y=(1+1/x)^x两边取自然对数的lny=xln(1+1/x)
对x求导有(1/y)y'=ln(1+1/x)+x[1/(1+1/x)*(-1/x^2]
所以y'=ln(1+1/x)-1/(1+x)]y

令f(x)=ln(1+1/x)，g(x)=1/(1+x)
显然f(x)>0，0<g(x)<1
且因y=lnx为增函数，y=1+1/x为减函数
所以f(x)在x>0区间上是减函数
而g(x)在x>0区间上也是减函数
又lim(x→0)f(x)=∞，lim(x→0)g(x)=1
而lim(x→∞)f(x)=0，lim(x→∞)g(x)=0
且f'(x)=-1/(1+x)x<g'(x)=-1/(1+x)^2
说明在区间x>0上f(x)>g(x)总成立
即ln(1+1/x)>1/(1+x)

注意到y>0
所以y'=ln(1+1/x)-1/(1+x)]y>0
表明函数y=(1+1/x)^x为增函数

Answer 2

y=(1+1/x)^x=e^ln(1+1/x)^x=e^[xln(1+1/x)]
y’=[ln(1+1/x)+x/(1+1/x)]e^[xln(1+1/x)]
=[ln(1+1/x)+x^2/(x+1)](1+1/x)^x
x>0
1+1/x>1 ln(1+1/x)>0
x^2/(x+1)>0
(1+1/x)^x>0
y’>0
x>0 y为增

Answer 3

y=(1+1/x)^x中
x>0,1+1/x>1
所以y=(1+1/x)^x在实数R上是增函数,
x>0时(0,+无穷)是增函数