Question

已知圆的方程是X^2+Y^2=1

(1)求斜率等于1的切线方程:(2)在y轴上截距是根号2的切线方程

Answer 1

用初中方法来解，当直线和圆相切时，只有一个公共点，判别式△=0，
1、设切线方程为：y=x+b,
代入圆方程，x^2+(x+b)^2=1,
2x^2+2bx+b^2-1=0,
当直线为圆的切线时，二次方程判别式△=4b^2-8b^2+8=0,
4b^2=8,
∴b=±√2，
∴斜率为1的切线方程为：y=x±√2，
2、在y轴上截距是根号2，则圆外（0，√2）在切线上，
设切线方程为：(y-√2）/x=k,k为斜率，
y=kx+√2，代入圆方程，
x^2+(kx+√2)^2=1,
(k^2+1)x^2+2√2kx+1=0,
同样，当直线为圆的切线时，二次方程判别式△=8-4（k^2+1)=0,
k=±1，
∴切线方程为:y=±x+√2。

Answer 2

用高中生的办法：
（1）斜率为1，切线方程可设为
l: y=x+b即x-y+b=0
∵l与圆X^2+Y^2=1相切
∴圆心O到直线l的距离等于半径1
根据点到直线距离公式有：
|b|/√(1²+1²)=1 ,∴|b|=√2
∴b=±√2
∴切线方程为：
y=x+√2或y=x-√2
(2) 在y轴上截距是√2
设切线的斜率为k,
切线方程l:y=kx+√2即kx-y+√2=0
∵l与圆X^2+Y^2=1相切
∴圆心O到直线l的距离等于半径1
根据点到直线距离公式有：
|√2|/√(k²+1²)=1 ,∴k²+1=2
∴k=±1
∴切线方程为：
y=x+√2或y=-x+√2

Answer 3

(1)
设斜率为1的切线的直线系方程为：
x-y+λ=0
它到原点的距离为 1
|λ|/√2=1==>λ=±√2
切线PT:
X-Y±√2=0
(2)
设所求的切线的斜截式方程为：
kx-y+√2=0,它到原点的距离为 1
√2/√k²+1=1
k²+1=2
k=±1
PT:
±X-Y+√2=0

Answer 4

(1)
两边同时对x求导，得
2x+2y*y'=0
y'=-x/y=1
y=-x
2x²=1
x=±√2/2
即切点为（√2/2，-√2/2）和（-√2/2，√2/2）
所以
方程为
y+√2/2=x-√2/2
y=x-√2
或
y-√2/2=x+√2/2
y=x+√2
(2)
在y轴上截距是根号2的切线方程有一个就是

y=x+√2

所以
由对称性，另一个为
y=-x+√2

Answer 5

由题意可知,令所求方程为y=x+b.....(1)把(1)代入X^2+Y^2=1
2X^2+2bx+b^2-1=0.由判别式=0得
(2b)^2-4*2(b^2-1)=0
b=√2,b=-√2
切线方程:y-x+√2=0,或y-x-√2=0
2,令所求方程为y=Kx+√2...(2)把(1)代入X^2+Y^2=1
(K^2+1)X^2+2√2Kx+1=0,由判别式=0得
(2√2K)^2-4*(K^2+1)=0
K=1,或K=-1
切线方程:y+x-√2=0,或y-x-√2=0

Answer 6

(1) 设切线方程为y=x+b,代入圆方程，并化简为
2x^2+2bx+b^2-1=0,
判另式=(2b)^2-8(b^2-1)=0, b=±2，所求方程为y=x±√2
(2) 设切线方程为y=kx+√2,代入圆方程，并化简为
（k^2+1）x^2+2k√2x+ 1=0,
判另式=(2k√2)^2-4(k^2+1）=0, k=±1，所求方程为y=±x+√2