Question

已知X属于(0,a],求F(X)=x^2+1/x^2+x+1/x 的最小值,过程希望详细些。

Answer 1

当a<1时，设0<x1<x2<a<1则有F(x1)=x1^2+1/x1^2+x1+1/x 1，F(x2)=x2^2+1/x2^2+x2+1/x2
F(x1)-F(x2)=(x1-x2)(x1+x2)[1-1/(x1x2)^2]+(x1-x2)[1-1/(x1x2)]
∵0<x1<x2<a<1
∴x1-x2<0，x1+x2>0，1-1/(x1x2)^2<0，1-1/(x1x2)<0
∴(x1-x2)(x1+x2)[1-1/(x1x2)^2]>0，(x1-x2)[1-1/(x1x2)]>0
∴F(x1)>F(x2)
即有F(X)=x^2+1/x^2+x+1/x在(0,a]上是递减函数，所以在x=a取得最小值
a^2+1/a^2+a+1/a
当a≥1时，F(X)=x^2+1/x^2+x+1/x
∵x^2+1/x^2≥2,x+1/x≥2，在x=1时取得最小值
∴F(X)=x^2+1/x^2+x+1/x ≥4，在x=1时取得最小值4.