求由下列方程所确定的函数或偏导数F(x+z/y,y+z/x)=0,F可微
解：三个未知数(x,y,z)，两个线性无关的方程组，则任意未知数都可以表为另外两个未知数的函数。也即，有y=y(x)，z=z(x)
事实上，这里求的应该是dy/dx，dz/dx，以及d²y/dx²，不应说成求偏导。
对第一个方程两边对x求导，得
1+dy/dx+dz/dx=0 ①
第二个方程两边对x求导，得
yz+x(dy/dx*z+x*dz/dx)=0
两边都乘以x，得
1+x²(dy/dx*z+x*dz/dx)=0 ②
联立①和②，解得
dy/dx=(1-x³)/[x²(x-z)]
dz/dx=(x²z-1)/[x²(x-z)]
则
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=d{(1-x³)/[x²(x-z)]}/dx
=[-3x²*x²(x-z)+(1-x³)*(3x²-2xz-x²*dz/dx)]/[x²(x-z)]² （注意x²z对x求导时不要漏了x²*dz/dx项）
=…… （将dz/dx代入即可）
事实上，也可以将两个方程变形：
y+z=-x
yz=1/x
根据韦达定理，y和z为关于X的一元二方程的两个根：
X²+xX+1/x=0
也即y,z=[-x±√(x²-4/x)]/2
下面再求导是很简单的。
需要指出的是，求得的结果，形式上并不是唯一的。可充分利用两个等式条件进行变形。
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
简单计算一下即可，答案如图所示
F1*[d x+(-z/y²) dy+( 1/y)dz]+F1*[dy+(-z/x²)dx+(1/x)dz] = 0，
整理成
dz = ----dx + ----dy，
你要的偏导数就有了，……。
