Question

求证：函数f(x)=x²+2x在[-1,+∞]上是增函数

Answer 1

证：令-1≦x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1²+2x1-x2²-2x2
=x1²-x2²+2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2+2)
因为-1≦x1<x2
所以：x1-x2<0，x1+x2+2>0
所以：f(x1)-f(x2)<0
即-1≦x1<x2时，有f(x1)<f(x2)
所以，f(x)在[-1,+∞]上是增函数

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Answer 2

解法一
F(x)=X²+2X=X²+2X+1-1=(X+1)²-1 ∴函数的对称轴为x=-1
这因为函数开口向上 ， ∴函数在[-1,+∞]上是增函数
解法二
因为F(x)=X²+2X ∴F（x）ˊ=2X+2 因为X≥-1 ∴ F（x）ˊ=2X+2≥0
∴函数f(x)=x²+2x在[-1,+∞]上是增函数

Answer 3

解；f'(x)=2x+2
令f'(x)=0则2（x+1）=0得x=-1
因为【-1，+∞】f'(x)>=0
所以函数f(x)=x²+2x在[-1,+∞]上是增函数

Answer 4

f(x)=x²+2x