Question

将矩阵初等变换得到的新矩阵，与原来的矩阵有什么联系？为什么要进行初等变换

Answer 1

1. 矩阵A经初等变换化为B, 则存在可逆矩阵P,Q使得 PAQ=B
2. 由于初等变换不改变矩阵的秩, 故A与B的秩相同. 所以我们可以把A化成一个简单的形式便于求矩阵的秩
3. 对A进行初等行变换, 不改变A的列向量之间的线性关系. 这可用来求向量组的极大无关组和秩, 并用极大无关组表示其余向量
4. 解线性方程组Ax=b, 实际上就是将向量b用A的列向量线性表示出来, 同(3), 对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换即可求解.
5. 求逆矩阵: (A,E) 用初等行变换化为 (E,X), X即为A的逆.
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