Question

如图，在直角三角形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2√3，点E是BC边的中点，△DEF是等边

三角形DF交AB于点C，求△BFG的周长

Answer 1

连接BD。

∵点E是BC边的中点，AD∥BC,AB⊥BC,AD=BE.

∴DE⊥BC.

∴BD=DC.(中垂线定义）

∠BDE=∠CDE=30°

∵∠FDE=60°,∴BD平分∠FDE。

在⊿FDB和⊿EBD中

FD=ED,∠FDB=∠EDB,BD=BD

∴⊿FDB≌⊿EBD(SAS)

∴∠DFB=∠DEB=90°,FB=EB

在⊿FBG和⊿ADG中

∠BFG=∠DAG=90°,∠BGF=∠DGA,FB=AD

⊿FBG≌⊿ADG(AAS)

∴FG=AG,GB=GD.

∴FG+GB=AB

∵∠C=60°.

∴DC=BC=2√3.则DE=3

则⊿FBG的周长为3+√3

 

Answer 2

连接BD。
因为BC=2AD=2√3，点E是BC边的中点，
所以BE=EC=AD=√3
因为AD//BC，∠ABC=90°，
所以四边形ABED是矩形，DE⊥BC
因为∠C=60°
所以∠CDE=∠BDE=30°
因为△DEF是等边三角形，
所以∠BDF=∠BDE=∠BEF=30°,
在△BDE和△BDF中，DE=DF，BD公用，∠BDF=∠BDE
所以△BDE≌△BDF
所以BF=BE=√3，∠BFD=∠BED=90°
所以∠BFE=∠BEF=30°，∠EBF=120°
所以∠FBG=30°，解直角三角形BFG得，FG=1，BG=2
所以△BFG的周长为3+√3

Answer 3

∵E是BC的中点

∴BE=EC=1/2BC

∵BC=2AD=2√3

∴AD=BE=EC=√3

∵AD∥BC(BE)，∠ABC=90°

∴ABED是矩形（一个内角是直角的平行四边形是矩形）

∴AB=DE，∠DEC=90°，∠ADE=∠DEB=∠A=90°

在Rt△DEC中，∠C=60°

∴∠CDE=30°，DC=2EC=2√3

DE=AB=√(DC²-EC²)=3

∵△DEF是等边△

∴∠FDE=∠DEF=∠DFE=60°，DF=EF=DE=3

∴∠ADG=∠ADE-∠FDE=90°-60°=30°

∴∠AGD=∠FGM=∠A-∠ADG=90°-30°=60°

∴∠GFM=∠DFE=∠FGM=60°

∴△FGM是等边三角形

在Rt△ADG中：AD=√3，∠ADG=30°

∴AG=1，DG=2(DG=2AG,DG²=AG²+AD²)

∴FG=DF-DG=3-2=1

∴FG=GM=FM=1

∴BM=AB-AG-GM=3-1-1=1

∴FM=BM=1

∵∠BMF=180°-∠FMG=120°

∴∠BFM=∠BFE=30°

∵∠BEM=∠BEF=∠DEB-∠DEF=90°-60°=30°

∴∠BFE=∠BEF=30°

∴BF=BE=√3

∴△BFG=BF+FG+BG=√3+1+2=3+√3

Answer 4

连接DB，已知角C是60度且BC＝2AD，于是△DBC等边三角形，DB=BC=CD=2√3 ,EC=√3 DE=3
已知△DEF是等边，所以∠FEB=∠ADG=30° 得到AG＝1， DG=2 于是BG＝DE-AG=3-1=2
DG=2 GF=DF-DG=DE-DG=3-2=1 因为EF＝DE＝3 BE＝EC＝√3， 角FBE是120度。BF=BE= √3 周长是GF＋BF＋BG＝1＋2＋√3＝3＋√3

其实证明△GFB与AGD全等就行了 △BFG周长就是AGD周长