Question

f(x)=ax-lnx，是否存在实数a,使f（x）在区间（0,e]的最小值是3 若存在 求a

Answer 1

易知f(x)定义域为x>0

当a=0时，f(x)=-lnx，显然f(x)为减函数，区间(0,e]上fmin=f(e)=-1，与题不符
所以a≠0

对f(x)求导得f'(x)=a-1/x
当a<0时，显然f'(x)<0，则f(x)在定义域上为减函数，区间(0,e]上fmin=f(e)=ea-1
令ea-1=3，则a=4/e>0，矛盾
所以a>0

令f'(x)=a-1/x=0，则x=1/a（极值点）
当a>0时，因0<x<1/a有f'(x)<0，x>1/a有f'(x)>0，则f(x)有最小值
若1/a>e即0<a<1/e，则f(x)在区间(0,e]上为减函数，fmin=f(e)=ea-1
令ea-1=3，则a=4/e>1/e，矛盾
所以0<1/a≤e即a≥1/e
此时fmin=f(1/a)=1+lna
令1+lna=3，则a=e^2
经检验，a=e^2符合

综上，使f(x)在区间(0,e]的最小值是3的a存在，其值为a=e^2

Answer 2

设存在满足条件的a。
∵f（x）＝ax－lnx，∴f′（x）＝a－1/x，f″（x）＝1/x^2＞0。
∵f（x）在定义域范围内有最小值。
令f′（x）＝a－1/x＝0，得：1/x＝a，∴x＝1/a，∴f（x）在x＝1/a处有最小值。
∴f（1/a）＝1－ln（1/a）＝3，∴ln（1/a）＝－2，∴lna＝2，∴a＝e^2。
∴存在满足条件的a，且a＝e^2。

Answer 3

f′(x)=a-1/x,令f′(x)=0,x=1/a,
0<x<1/a, f′(x)<0,函数f(x)单调下降。
1/a<x<＋∞ f′(x)>0,函数f(X)单调上升。
所以函数在x=1/a取得最小值。
最小值f(1/a)=a×(1/a)-lna=3, lna=-2,a=e^(-2),
显然有e^(-2)∈（0，e）所以
a=e^(-2)即为所求。