Question

设关于x的函数f(x)=4^x-2^(x+1)-b,当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点

Answer 1

令f(x)=0
b=4^x-2*2^x
令t=2^x>0
b=t^2-2t
t^2-2t的取值范围是在[-1,+无穷)
当b<-1 无零点
b=-1 一解 此时x=0
当b>-1 二解，这方程用求求根公式算出t然后解x

Answer 2

解：函数f(x)=4^x-2^(x+1)-b有零点，即4^x-2^(x+1)-b=0有解，得b=4^x-2^(x+1)，
∵4^x-2^(x+1)=(2^x)²-2×2^x=(2^x-1)²-1≥-1，
∴当b∈[-1，+∞）时方程有实数解
①当b=-1时，2x=1，∴方程有唯一解x=0；（6分）
②当b＞-1时，∵(2^x-1)²=1+b⇒2^x=1±√1+b ．
∵2^x＞0，1±√1+b＞0，∴2x=1±√1+b的解为x=log2(1±√1+b)
令1-√1+b＞0⇒ √1+b＜1⇒-1＜b＜0，
∴当-1＜b＜0时，2x=1-√1+b的解为x=log2(1- √1+b)；
综合①、②，得
（1）当-1＜b＜0时原函数有两个零点：x=log2(1±√1+b)；
（2）当b≥0或b=-1时，原方函数有唯一零点：x=log2(1+√1+b) .

输符号输的我手都软了，呵呵，请采纳，若不懂，请追问。