Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？（3）当t为何值时，射线QN恰好将△ABC的面积平分？并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．

Answer 1

（1）
过D做DF⊥BC
易得四边形QDFN为矩形，以是NF=QD
∴NC=NF+CF
而CF=BC-BF=BC-AD=1
NF=DQ=t
∴NC=t+1
△ABC中，cos∠ACB=BC/AC
△MNC中，cos∠MCN=NC/CM
∴BC/AC=NC/CM
∴CM=AC×NC/BC=5(1+t)/4
（2）
易得QD//PC
要满意PCDQ为平行四边形
只需QD=PC
∴t=4-t，
解得t=2
（3）
当T=t时，射线QN恰好将△ABC的面积平分
所以S△MNC=1/2×S△ABC
（3/4）×（1+t）×（1+t）/2=1/2×（3×4/2）
（3/4）×（1+t）×（1+t）=6
（1+t）×（1+t）=8
1+t=±2√2
t=2√2-1或-2√2-1
又因为t>0
所以t=2√2-1
此时C△ABC=AB+BC+AC=3+4+√（3×3+4×4）=3+4+5=12
CM/CN=CA/CB
CM=CA/CB×CN=5/4×（4-t）
所以CM+CN=5/4×（4-t）+（4-t）=9/4×（4-t）=9/4×（4-（2√2-1））=（5-2√2）×9/4不等于
△ABC周长的一半即6
所以此时△ABC的周长没有被射线QN平分
所以t=2√2-1

Answer 2

1、AC=5，AQ=3-t，
NC=1+t，则相似三角形原理，MC=(5+5t)/4
2、利用平行四边形对边相等的性质得：QD=PC；QD=t，PC=4-t，
即t=4-t时为平行四边形，所以t=2
3、

Answer 3

(1)NC=1+t,MC/5=(1+t)/4,MC=5(1+t)/4
(2)4-t=t,t=2
(3)MN/AB=NC/BC,MN=AB*NC/BC
MN*NC=AB*BC/2,3t*t/4=3*4/2,t=2根号2