Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=6,BC=5,D是AB边上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF=∠B,射线EF交

线段AC与点F。
（1）求证：△DBE∽ECF，（2）当点F是线段AC中点时，求线段BE的长（3）联结DF，如果三角形DEF与△DBE相似，求FC的长。

Answer 1

(1)先证明△DBE∽△ECF
∵∠B+∠DEB+∠BDE=180°
∠DEB+∠DEF+∠FEC=180°
又∵∠DEF=∠B
∴∠BDE=∠FEC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴△DBE∽△ECF

(2),前面已经证得 △DBE∽△ECF
∴BD:EC=BE:CF
即2：（5-BE）=BE：3
整理得BE²-5BE+6=0
∴BE=2或BE=3
(3)若△DEF∽△DBE,
前面已经证得△DBE∽△ECF
∴∠BDE=∠EDF,∠DFE=∠CFE
∴点E是△ADF外角平分线DE和EF交点
连接AE，则AE是∠BAC的平分线
又∵AB=AC
∴AE又是底边BC中点
∴BE=CE=5/2
△DEB∽△EFC
∴BD:EC=BE:CF
即2：（5/2）=（5/2）：FC
∴FC=25/8

追问

FC有两个答案！！一个是2，另一个是什么？

追答

连接AE，则AE是∠BAC的平分线？why
三角形一个内角平分线和另外两个外角的平分线相交于一点。这点叫做三角形的旁心，即旁切圆的圆心。